51Nod 1371 填数字

Dynamic Programming

Posted by Scalpel on September 5, 2016

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题意:

有n(1-200)行格子,第i(1<=i<=n)行有i个格子,每行格子是左对齐。现在要在每一个格子填入一个非负整数,最后使得每一行每一列的和都不超过2。请计算有多少种方案,答案比较大,请输出对100000007取余后的结果。

思路:

枚举每一行,设,表示到当前行已有i列为0,j列为1,k列为2,为保证合法,当前行只有如下几种填写方案(注意:每一行会比上一行多一列,若不在此填1或者2,则i会加1):
1、填一个2,只能全部填在都为0的列,此时k加1,i和j不变,方案数
2、填两个1,三种方案,全部填在全为0的列,i减1,j加2,k不变,方案数;分别填在全为0和只有一个1的列,i和j不变,k加1,方案数;全部填在只有一个1的列,此时i加1,j减2,k加2,方案数
3、填一个1,其中1的填写又可进一步分为两种方案,填在全为0的列,i和k不变,j加1,方案数;填在只有一个1的列,i加1,j减1,k加1,方案数
4、全部都填0,i加1,j和k不变,方案数1。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define FIO ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
#define FILEREAD freopen("input.txt", "r", stdin);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 201;
const int MOD = 1e8 + 7;

int dp[N][N][N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    FILEREAD
#endif
    FIO
    int n;
    cin >> n;
    dp[1][0][0] = dp[0][1][0] = dp[0][0][1] = 1;  //第一行初始化
    for (int row = 2; row <= n; ++row)  //枚举行
        for (int i = 0; i < row; ++i)
            for (int j = 0; j < row - i; ++j) {
                int k = row - i - j - 1;
                dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + (i + 1LL) * dp[i][j][k]) % MOD;  //填一个2
                if (i > 0)
                    dp[i - 1][j + 2][k] = (dp[i - 1][j + 2][k] + i * (i + 1LL) / 2 * dp[i][j][k]) % MOD; //填两个1,全部填在为0的列
                if (j > 0)
                    dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + j * (i + 1LL) * dp[i][j][k]) % MOD; //填两个1,分别填在全为0和只有一个1的列
                if (j > 1)
                    dp[i + 1][j - 2][k + 2] = (dp[i + 1][j - 2][k + 2] + j * (j - 1LL) / 2 * dp[i][j][k]) % MOD; // 填两个1,全部填在只有一个1的列
                dp[i][j + 1][k] = (dp[i][j + 1][k] + (i + 1LL) * dp[i][j][k]) % MOD; //填一个1,填在全为0的列
                dp[i + 1][j - 1][k + 1] = (dp[i + 1][j - 1][k + 1] + (long long)j * dp[i][j][k]) % MOD; //填一个1,填在只有一个1的列
                dp[i + 1][j][k] = (dp[i + 1][j][k] + dp[i][j][k]) % MOD; //全部都填0
            }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= n - i; ++j)
            ans = (ans + dp[i][j][n - i - j]) % MOD;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}